Τα μάτια μας δεν είναι τόσο ευαίσθητα για να διακρίνουν μια τόσο μικρή απόσταση, αλλά αυτή θα ήταν η καλύτερη ακρίβεια με την οποία θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε ένα αντικείμενο χρησιμοποιώντας ορατό φως.
Αν τώρα θέλουμε να διεισδύσουμε στον υποατομικό μικρόκοσμο, πώς θα μπορούσαμε να εντοπίσουμε π.χ. έναν ατομικό πυρήνα;
Ένας τρόπος είναι να ρίξουμε πάνω του φωτόνια με πολύ μικρότερο μήκος κύματος. Tέτοια φωτόνια βρίσκονται στο δεξιό άκρο του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος - πρόκειται για τα φωτόνια των ακτίνων γάμμα.
Όμως τα φωτόνια εκτός από ενέργεια $E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$ διαθέτουν και ορμή $p=\dfrac{hf}{c}=\dfrac{h}{\lambda}$, ($h$ η σταθερά του Planck). Έτσι, για να εντοπίσουμε τη θέση του πυρήνα μέσα στο εύρος Δx, χρειαζόμαστε φωτόνια με μήκος κύματος λ τόσο μικρό, τουλάχιστον όσο το Δx, δηλαδή $\lambda =\dfrac{h}{p} \sim \Delta x $ (1)
Όταν βομβαρδίζουμε έναν πυρήνα με φωτόνια υψηλής ενέργειας, δίνουμε ώθηση στο πρωτόνιο και μεταβάλλεται η ορμή του. Χοντρικά μπορούμε να πούμε ότι η ορμή του πυρήνα γίνεται αβέβαιη κατά μια ποσότητα περίπου όση η ορμή του προσπίπτοντος φωτονίου: $\Delta p \sim p $ (2)
Επομένως, από τις σχέσεις (1) και (2) βλέπουμε ότι η αβεβαιότητα στην ορμή του πυρήνα συνδέεται με την αβεβαιότητα στη θέση του με την εξίσωση: $ \Delta x \sim h/\Delta p$ ή $\Delta p \Delta x \sim h $.
Η τελευταία εξίσωση δεν είναι τίποτε άλλο παρά μια προσεγγιστική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας που συσχετίζει την αβεβαιότητα της ορμής με την αβεβαιότητα της θέσης.
Η αρχή της αβεβαιότητας ορμής-θέσης εκφράζεται από την σχέση: $ \Delta p \cdot \Delta x \geq \dfrac{\hbar}{2} = \dfrac{h}{4 \pi} $, όπου $ \Delta p$ η αβεβαιότητα στην ορμή, $ \Delta x$ η αβεβαιότητα στην θέση και $ \hbar=h/2 \pi$ .
Ένας δεύτερος τρόπος για να προσδιορίσουμε τη θέση ενός ατομικού πυρήνα είναι να ρίξουμε πάνω του ... ηλεκτρόνια, μερικά από τα οποία θα αναπηδήσουν από την σύγκρουση και στη συνέχεια θα καταγραφούν σε έναν ανιχνευτή. Σύμφωνα με τον πρίγκιπα de Broglie, το ηλεκτρόνιο συμπεριφέρεται και ως κύμα, με μήκος κύματος λ αντιστρόφως ανάλογο με την ορμή του ηλεκτρονίου p, δηλαδή $\lambda = h/p $.
Όμως όταν ανιχνεύουμε κάτι χρησιμοποιώντας ένα κύμα, είναι σαφές ότι δεν μπορoύμε να εντοπίσουμε τη θέση του με ακρίβεια καλύτερη από την τάξη μεγέθους του μήκους κύματος του κύματος. Έτσι, για να εντοπίσουμε τη θέση του πυρήνα μέσα στο εύρος Δx, θα χρειαστoούμε ηλεκτρόνια με μήκος κύματος λ τόσο μικρό, τουλάχιστον όσο το Δx. Αλλά αυτό δεν είναι πρόβλημα. Μπορούμε να τα επιταχύνουμε ώστε να αποκτήσουν μεγαλύτερη ορμή και επομένως μικρότερο μήκος κύματος $ \lambda \sim h/p \sim \Delta x$.
Αλλά όταν βομβαρδίζουμε έναν πυρήνα με ηλεκτρόνια υψηλής ενέργειας, μεταβάλλεται η ορμή του - δηλαδή, η ορμή του πυρήνα γίνεται αβέβαιη κατά μία ποσότητα $\Delta p \sim p$. Επομένως, όπως και προηγουμένως με τα φωτόνια, η αβεβαιότητα στην ορμή και η αβεβαιότητα στη θέση του πυρήνα ικανοποιούν την προσεγγιστική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας: $ \Delta p \Delta x \sim h $.
Συνοψίζοντας, μια έκφραση της αρχής αβεβαιότητας του Heisenberg προκύπτει από την σχέση της ορμής του φωτονίου με το μήκος κύματος του αντίστοιχου ηλεκτρομαγνητικού κύματος $(p=h/\lambda )$ ή από την αντίστοιχη σχέση που υπέθεσε ο πρίγκιψ de Broglie $ (\lambda = h/p)$ για να συνδέσει το μήκος κύματος της κυματικής συμπεριφοράς ενός σωματιδίου με την ορμή του.