Τι συμβαίνει όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα σώμα δεν είναι απλά ανάλογη με την απομάκρυνση, όπως στην απλή αρμονική ταλάντωση, αλλά ανάλογη με την απομάκρυνση υψωμένη στην τρίτη δύναμη; Υπάρχει κάποιο φυσικό σύστημα που να συμπεριφέρεται με τον συγκεκριμένο τρόπο;
Με πολύ καλή προσέγγιση μπορούμε να πούμε ό,τι παρόμοια ταλαντωτική συμπεριφορά εμφανίζει το σύστημα του παρακάτω σχήματος:
Απομακρύνουμε την μάζα από τη θέση ισορροπίας της κατά $ \psi$, κάθετα προς την ευθεία xx' και την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί. Στη συνέχεια θα μελετηθεί το είδος της κίνησης της μάζας m.
Όταν απομακρύνουμε το σώμα από την θέση ισορροπίας του κατά $ \psi$, τότε δέχεται δύναμη $\Sigma F=2F \cos \theta=2 k(\ell - \ell_{0})\frac{\psi}{\ell}=2k \psi-\frac{2k\ell_{0} \psi}{\sqrt{\ell_{0}^{2}+\psi^{2}}}=2k \psi \left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\psi^{2}}{\ell_{0}^{2}}}} \right)$. Όμως για μικρές απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας ισχύει $ \frac{1}{\sqrt{1+\frac{\psi^{2}}{\ell_{0}^{2}}}} \cong 1+ \frac{ \psi^{2}}{2\ell_{0}^{2}}$. Αντικαθιστώντας παίρνουμε μια δύναμη επαναφοράς: $ \Sigma F \cong -\frac{k}{\ell_{0}^{2}} \psi^{3} $, η οποία είναι ανάλογη με τον κύβο της απομάκρυνσης (από τη θέση ισορροπίας).
Η δυναμική ενέργεια του συστήματος σε μια τυχαία θέση θα είναι ανάλογη της τέταρτης δύναμης της απομάκρυνσης: $ U=\frac{1}{2}D \psi^{4} $, όπου $ D=\frac{k}{\ell_{0}^{2}}$. Το σύστημα λοιπόν της μάζας με τα δύο ελατήρια, για μικρές ταλαντώσεις από την θέση ισορροπίας, εκφράζεται από ένα δυναμικό, που συνήθως συναντά κανείς για πρώτη φορά .. σε προβλήματα προχωρημένης κβαντομηχανικής!
Η επίλυσή του από την σκοπιά της κλασικής φυσικής γίνεται γράφοντας $ m \frac{dy^{2}(t)}{dt^{2}}\cong -\frac{k}{\ell_{0}^{2}} \psi(t)^{3}$, για να πάρουμε τελικά την διαφορική εξίσωση της κίνησης: $ \frac{d^{2} \psi}{dt^{2}} +\omega^{2} \psi^{3} =0 $, με $ \omega^{2}=\frac{k}{m \ell_{0}^{2}}$. Παρά το γεγονός ότι είναι μια προσεγγιστική εξίσωση, η επίλυσή της δεν είναι εύκολη υπόθεση. Για αρχικές συνθήκες $ \psi(0)=A$ και $ \psi'(0)=0$ η λύση μπορεί να γραφεί σε κλειστή μορφή χρησιμοποιώντας μια μορφή γενίκευσης των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, την ελλειπτική συνάρτηση Jacobi: $ \psi(x)= A \, \mathrm{cd} [\frac{A\, x \,\omega}{\sqrt{2}}, -1] $, η οποία μοιάζει με την γνωστή μας συνάρτηση του συνημιτόνου:
 | ||||
| Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης συναρτήσει του χρόνου για Α=1 και ω=1 (αυθαίρετες μονάδες) |
H αντίστοιχη γραφική παράσταση της ταχύτητας συναρτήσει του χρόνου $ v=d \psi /dt$ θα είναι:
