H "Εισαγωγή στην Κβαντική Μηχανική" του David J. Griffiths στην σελίδα 144 περιέχει μια άσκηση (την 4.16), όπου εξετάζεται το σύστημα Γης-Ήλιου ως ένα βαρυτικό ανάλογο του ατόμου του υδρογόνου.
Αντίστοιχα για το βαρυτικό σύστημα Γης-Ήλιου, αν M η μάζα του Ήλιου και m<<M η μάζα της Γης, ισχύουν: $ U(r) = -\frac{GmM}{r} $ και $ E = K + U =-\frac{GmM}{2r} $. Παρατηρούμε ότι τα αποτελέσματα για το άτομο του υδρογόνου μεταφέρονται στο "βαρυτικό άτομο" κάνοντας απλά την αντικατάσταση $ GmM \rightarrow ke^{2}$.
Γνωρίζουμε ότι για το άτομο του υδρογόνου οι ακτίνες των επιτρεπόμενων τροχιών δίνονται από την εξίσωση: $ r_{n}=n^{2} \frac{\hbar^{2}}{m_{e}ke^{2}} $ όπου $ n=1,2,3 \cdots$ ο κύριος κβαντικός αριθμός και $ a=r_{1}= \frac{\hbar^{2}}{m_{e}ke^{2}} $, η ακτίνα Bohr, ενώ στις επιτρεπόμενες τροχιές αντιστοιχούν ενέργειες: $ E_n = -\frac{m_{e}}{2\hbar^2} ( k e)^2 \frac{1}{n^2} $ με $ n=1,2,3 \cdots$
Το 'κβαντικό' σύστημα Γης-Ήλιου
Αρκεί τώρα στις παραπάνω εξισώσεις να κάνουμε την αντικατάσταση $ ke^{2} \rightarrow GmM $ για να πάρουμε τις ακτίνες των επιτρεπόμενων τροχιών του βαρυτικού ατόμου Γης-Ήλιου: $ r_{n}=n^{2} \frac{\hbar^{2}}{Gm^{2}M} $, όπου $ n=1,2,3 \cdots$ και $ a=r_{1}= \frac{\hbar^{2}}{Gm^2 M} $, η βαρυτική ακτίνα Bohr, και τις ενέργειες που αντιστοιχούν στις επιτρεπόμενες τροχιές: $ E_n =- \frac{m}{2\hbar^2} ( GmM)^2 \frac{1}{n^2}$ ή $ E_{n}=-\frac{G^2 m^3 M^2}{2\hbar^2 n^2}$ με $ n=1,2,3 \cdots$
Ο κβαντικός αριθμός που αντιστοιχεί στην τροχιά της Γης προκύπτει από την εξίσωση της ακτίνας λύνοντας ως προς τον κύριο βαντικό αριθμό: $ n=\sqrt{\frac{r_{n}Gm^2 M}{\hbar^2}} $. Aντικαθιστώντας τις τιμές $ R_{\Gamma} \cong r_n =1,5 \cdot 10^{11} m$ , $\hbar \cong 10^{-34} J \cdot s$ , $ G \cong 6,7 \cdot 10^{-11} N \cdot m^2 / kg^2$ , $ m \cong6 \cdot 10^{24}kg$ και $ M \cong 2 \cdot 10^{30} kg$ παίρνουμε τον τερατώδη κβαντικό αριθμό: $ n \cong 2,7 \cdot 10^{74} $. Ένα αποτέλεσμα απόλυτα λογικό, όταν διαπιστώνουμε ότι η ακτίνα Bohr του βαρυτικού ατόμου Γης-Ήλιου είναι: $ a=r_{1}= \frac{\hbar^{2}}{Gm^2 M} \cong 2 \cdot 10^{-138} m $. Kάτι αδιανόητο αν λάβουμε υπόψιν ότι το μήκος Planck είναι $ \ell_P \sim 10^{-35}m$.
Η 'αποδιέγερση' της Γης
Kαι για να ολοκληρώσουμε την διασκεδαστική άσκηση του Griffiths θα υπολογίσουμε το μήκος κύματος του βαρυτονίου (;) που θα εκπεμφθεί όταν η Γη μεταβεί από την ΄διεγερμένη κατάσταση' n στην αμέσως πιο κάτω την (n-1). Η διαφορά των ενεργειών των δυο καταστάσεων υπολογίζεται από την σχέση: $ \Delta E=E_{n}-E_{n-1} = -\frac{G^2 m^3 M^2}{2\hbar^2} \Big[\frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n-1)^2} \Big]$. Eπειδή ο αριθμός $latex n \cong 2,7 \cdot 10^{74} $ είναι πολύ μεγάλος, μπορούμε να γράψουμε προσεγγιστικά ότι $latex \frac{1}{n^{2}} - \frac{1}{(n-1)^2} \cong \frac{2}{n^{3}}$. Το ζητούμενο μήκος κύματος θα είναι: $ \lambda = hc/\Delta E \cong 10^{16}m $, λίγο παραπάνω από ένα έτος φωτός!!
Θα μπορούσαν να υπάρξουν βαρυτικά άτομα;
Προφανώς η Γη έχει πολύ μεγάλη μάζα για να εμφανίσει μακροσκοπικά ανιχνεύσιμα κβαντικά φαινόμενα. Για να αποκτήσει νόημα η βαρυτική ακτίνα Bohr $ a=\frac{\hbar^{2}}{Gm^2 M} $ σε ένα σύστημα δυο μαζών M και m<<M, - να είναι τουλάχιστον ίδιας τάξης μεγέθους με την ακτίνα Bohr του ατόμου του υδρογόνου - θα έπρεπε η μάζα m να είναι πολύ μικρή, της τάξης των 10-40 kg. Υπάρχουν σωματίδια με τόσο μικρή μάζα;
Θεωρητικά ναι, λένε οι φυσικοί Baumann, Bertone, Stout και Tomaselli στην τελευταία δημοσίευσή τους με τίτλο 'Sharp Signals of Boson Clouds in Black Hole Binary Inspirals'. Κι εφόσον υπάρχουν, θα μπορούσαν να σχηματίζουν ένα νέφος γύρω από μια μαύρη τρύπα σχεδόν πανομοιότυπο με αυτό του ατόμου του υδρογόνου, σχηματίζοντας έτσι το σύστημα που ονομάζεται βαρυτικό άτομο.
Αυτά τα σωματίδια θα μπορούσαν να είναι τα υπερ-ελαφρά μποζόνια με εύρος μαζών 10−20 – 10−10 eV (πολύ μικρότερες από 10-40 kg), που εμφανίζονται στη θεωρία των χορδών ως υπερελαφρά αξόνια και αποτελούν επίσης σοβαρούς υποψήφιους για την σκοτεινή ύλη. Αυτά τα (υποθετικά προς το παρόν) σωματίδια δεν έχουν μεγάλη κοσμική αφθονία, ώστε να ανιχνευθούν.
Σύμφωνα με τους Baumann et al τα νέφη αυτών των υπερ-ελαφρών σωματιδίων που δημιουργούνται γύρω από περιστρεφόμενες μαύρες τρύπες θα άφηναν ένα χαρακτηριστικό αποτύπωμα στα βαρυτικά κύματα που εκπέμπουν δυαδικές μαύρες τρύπες.
Οι μαύρες τρύπες εκτός από το να καταπίνουν όλες τις μορφές ύλης και ενέργειας που τις περιβάλλουν, θα μπορούσαν επίσης να αποβάλλουν μέρος της μάζας τους μέσω μιας διαδικασίας που ονομάζεται υπερακτινοβολία. Αυτό το φαινόμενο είναι δυνατό μόνο εφόσον υπάρχουν σωματίδια με πολύ μικρή μάζα, όπως προβλέπουν διάφορες θεωρίες πέραν του Καθιερωμένου Προτύπου της Φυσικής των Σωματιδίων.
Ιονισμός βαρυτικών ατόμων
Όταν εξάγεται μάζα από μια μαύρη τρύπα διαμέσου της υπερακτινοβολίας, σχηματίζεται ένα μεγάλο νέφος γύρω από τη μαύρη τρύπα, δημιουργώντας το επονομαζόμενο βαρυτικό άτομο. Παρά το εξαιρετικά μεγαλύτερο μέγεθος ενός βαρυτικού ατόμου, η σύγκριση με τα μικροσκοπικά άτομα είναι ακριβής λόγω της ομοιότητας της μαύρης τρύπας συν το νέφος της, με την γνωστή δομή των συνηθισμένων ατόμων, όπου νέφη ηλεκτρονίων περιβάλλουν έναν πυρήνα πρωτονίων και νετρονίων.
Σύμφωνα με τους ερευνητές η αναλογία μεταξύ των συνηθισμένων και των βαρυτικών ατόμων είναι πιο βαθιά από μια απλή ομοιότητα στη δομή. Ισχυρίζονται ότι η ομοιότητα μπορεί στην πραγματικότητα να αξιοποιηθεί για την ανακάλυψη των νέων σωματιδίων από τη νέα γενια των ανιχνευτών βαρυτικών κυμάτων.
Στη νέα εργασία, οι ερευνητές μελέτησαν το βαρυτικό ισοδύναμο του φωτοηλεκτρικού φαινομένου. Σε αυτή τη γνωστή διαδικασία, η οποία για παράδειγμα χρησιμοποιείται στα φωτοβολταϊκά για την παραγωγή ηλεκτρικού ρεύματος, τα συνηθισμένα ηλεκτρόνια απορροφούν την ενέργεια των προσπιπτόντων φωτονίων και έτσι αποβάλλονται από το υλικό - και λέμε ότι τα άτομα «ιονίζονται». Στο βαρυτικό ανάλογο, όταν το βαρυτικό άτομο είναι μέρος ενός δυαδικού συστήματος δύο βαρέων σωμάτων, διαταράσσεται από την παρουσία του τεράστιου συνοδού, που θα μπορούσε να είναι μια δεύτερη μαύρη τρύπα ή ένα άστρο νετρονίων. Ακριβώς όπως τα ηλεκτρόνια στο φωτοηλεκτρικό φαινόμενο απορροφούν την ενέργεια του προσπίπτοντος φωτός, το νέφος των υπερελαφρών σωματιδίων μπορεί να απορροφήσει την τροχιακή ενέργεια του συνοδού, έτσι ώστε ένα μέρος του νέφους να αποβληθεί από το βαρυτικό άτομο.
Αυτή η διαδικασία μπορεί να αλλάξει δραματικά την εξέλιξη τέτοιων δυαδικών συστημάτων, μειώνοντας σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για την συγχώνευσή τους. Επιπλέον, ο ιονισμός του βαρυτικού ατόμου ενισχύεται σε πολύ συγκεκριμένες αποστάσεις μεταξύ των δυαδικών μαύρων τρυπών, γεγονός που αναδεικνύται από τα χαρακτηριστικά των βαρυτικών κυμάτων που παράγονται σε τέτοιες συγχωνεύσεις. Η ανίχνευση των προβλεπόμενων χαρακτηριστικών στα βαρυτικά άτομα όχι μόνο θα αποδείκνυε την ύπαρξη νέων υπερελαφρών σωματιδίων, αλλά ... θα έκανε και πιο ρεαλιστικές τις ασκήσεις κβαντομηχανικής με τα βαρυτικά ανάλογα του ατόμου του υδρογόνου.