Γιατί η κινητική ενέργεια ενός σώματος δεν αυξάνεται γραμμικά συναρτήσει του μέτρου της ταχύτητας; Γιατί χρειάζεται περισσότερη ενέργεια για να αυξήσουμε την ταχύτητα ενός σώματος από 1m/s σε 2m/s, απ' ότι για να την αυξήσουμε από 0m/s σε 1m/s; Θα μπορούσε κανείς να απαντήσει πολύ εύκολα στο ερώτημα χρησιμοποιώντας διαστατική ανάλυση, να γράψει δηλαδή, $ K= m^{x} v^{y} \Rightarrow N \cdot m= kg^{x} m^{y} s^{-y}$ ή $ kg \cdot m^{2} \cdot s^{-2}=kg^{x} m^{y} s^{-y} $, απ' όπου προκύπτει εύκολα ότι $ x=1$ και $y=2$. Όμως η διαστατική ανάλυση προϋποθέτει τον ορισμό του Joule διαμέσου του έργου ή άλλου είδους ενέργειας. Κάτι που θέλουμε να αποφύγουμε. Μπορούμε να αποδείξουμε πιο θεμελιακά και χωρίς δεκανίκια τον τύπο της κινητικής ενέργειας $ K=\frac{1}{2}m\,v^{2}$ χωρίς να αναφερθούμε στο έργο δύναμης; Aς κάνουμε μια προσπάθεια.
Υποθέτουμε ότι για κάθε σώμα μάζας $ m$ και ταχύτητας $ v$ υπάρχει μια συνάρτηση κινητικής ενέργειας $K$, η οποία εξαρτάται από τα $ m$ και $v$ με άγνωστο προς το παρόν τρόπο: $K=K(m,v)$.
Θεωρούμε μια μικρή μπάλα από πηλό μάζας $m$ που προσπίπτει με ταχύτητα $v$ σε έναν τοίχο και ακινητοποιείται. Σύμφωνα με την αρχή διατήρησης της ενέργειας όλη η κινητική της ενέργεια μετρατράπηκε σε θερμική (αγνοώντας πιθανή ζημιά στον τοίχο, την παραγωγή ηχητικού κύματος κ.λ.π.). Επομένως $K(m,v)=Q$. Μπορούμε να διαπιστώσουμε πειραματικά ότι η παραγόμενη θερμότητα είναι ανάλογη της μάζας της μπάλας, οπότε θα ισχύει: $K(m,v)=Q=mK(v)$ ή $K \sim m $ Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει χωρίς καμία αναφορά στην κίνηση, αφήνοντας απλά μπάλες από πηλό με διαφορετικές μάζες από το ίδιο ύψος και χρησιμοποιώντας ένα θερμόμετρο.
Στη συνέχεια θα θεωρήσουμε δύο πανομοιότυπες μπάλες από πηλό που συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά έχοντας το ίδιο μέτρο ταχύτητας $ v$ λίγο πριν την κρούση.
Έστω δυο παρατηρητές που βρίσκονται σε διαφορετικά συστήματα αναφοράς, ένα ακίνητο Σ και ένα κινούμενο Σ' με ταχύτητα $ v$, στην ίδια κατεύθυνση με μία από τις δύο μπάλες. Και στα δυο συστήματα μετά την κρούση προκύπτει συσσωμάτωμα και η παραγόμενη θερμική ενέργεια πρέπει να είναι η ίδια:
Η αρχή διατήρησης της ενέργειας για το ακίνητο σύστημα αναφοράς Σ δίνει: $ 2mK(v)=Q$, ενώ για το κινούμενο σύσημα Σ', $mK(2v)=2mK(v)+Q$. Από τις δύο αυτές εξισώσεις προκύπτει ότι: $K(2v)=4K(v)$, το οποίο ισχύει μόνο όταν η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη του τετραγώνου της ταχύτητας, $K \sim v^{2} $. Και δεδομένου ότι παραπάνω αποδείχθηκε πως $ K \sim m $, προκύπτει η σχέση για την κινητική ενέργεια:
$ K \sim mv^{2} $
Εντάξει μπορεί να λείπει το 1/2, αλλά κανείς δεν είναι τέλειος!
βιβλιογραφία:
1. Why does kinetic energy increase quadratically, not linearly, with speed?
2. Energy conservation as the basis of relativistic mechanics, II (Ehlers, Rindler και Penrose). Εδώ χρησιμοποιώντας Γαλιλαιϊκή κινηματική αποδεικνύεται για σωματίδια (χωρίς αναφορά σε μπάλες από πηλό) ότι $ K=\frac{1}{2}m \, v^{2} + K_{0}$, όπου Κ0 μια σταθερά ανεξάρτητη της ταχύτητας (Κ0=m0c2;!). Υπενθυμίζεται ότι: $ E=mc^{2}=\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$, η οποία για υ<<c δίνει: $ E\cong m_{0}c^{2} \left(1+ \frac{1}{2}\frac{v^{2}}{c^{2}} \right)= m_{0}c^{2} +\frac{1}{2}m_{0}v^{2}$
3. Υπενθυμίζεται και η επιχειρηματολογία στην μηχανική των Landau-Lifshitz όπου εξετάζεται η Λαγκρανζιανή του ελεύθερου σωματιδίου σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Στη σελίδα 5 γράφουν: ...η ομογένεια του χώρου και του χρόνου συνεπάγεται ότι η Λαγκρανζιανή δεν μπορεί να περιέχει εκπεφρασμένα oύτε το διάνυσμα $ \vec{r}$ ούτε το χρόνο t. H Lagrangian πρέπει να είναι συνάρτηση μόνο της ταχύτητας $ \vec{v}$. Και αφού ο χώρος είναι ισοτροπικός, η Λαγκαρανζιανή πρέπει να είναι επίσης ανεξάρτητη της κατεύθυνσης της $\vec{v}$, επομένως θα είναι μια συνάρτηση του $ \vec{v}^{2}=v^{2}$, δηλ. $ L=L(v^{2})$... Τίθεται βέβαια το ερώτημα 'και γιατί όχι το μέτρο της ταχύτητας υψωμένο σε οποιαδήποτε δύναμη;' Και στη σελίδα 7 καταλήγουν σε Λαγκρανζιανή της μορφής $ L=\frac{1}{2}mv^{2}$, χωρίς όμως να αποδεικνύεται ότι η κινητική ενέργεια είναι ανάλογη της μάζας.
πρώτη δημοσίευση 23/05/2022