Χρησιμοποιώντας την παράγωγο ενός πολυωνύμου
Τρεις ευθύγραμμοι παράλληλοι αγωγοί απείρου μήκους διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα ίδιας έντασης Ι. Οι αγωγοί βρίσκονται στις θέσεις x=-1, x=+2, και x=+3 του άξονα χ. Ψάχνουμε να βρούμε σε ποιά σημεία μηδενίζεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου που δημιουργούν οι τρεις αγωγοί. Tα σημεία αυτά (αν υπάρχουν) προφανώς θα βρίσκονται στον άξονα χ
 |
| Οι τρεις αγωγοί που βρίσκονται στις θέσεις x=-1, x=+2, και x=+3 του άξονα χ, είναι κάθετοι στο επίπεδο της οθόνης και η φορά των ρευμάτων τους είναι προς τα έξω |
Απαντώντας το πρόβλημα κατά τα γνωστά, υποθέτουμε ότι σε κάποια θέση x=; η συνολική ένταση του μαγνητικού πεδίου ισούται με μηδέν. Σημειώνουμε εκεί τις εντάσεις των μαγνητικών πεδίων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού μας:
Θα ισχύει: $ \vec{B}_{1}+ \vec{B}_{2}+ \vec{B}_{3}=0 \Rightarrow k_{\mu}\frac{2I}{x+1}= k_{\mu}\frac{2I}{2-x} + k_{\mu}\frac{2I}{3-x} $ ή $ (2-x)(3-x)= (3-x)(x+1)+(2-x)(x+1) $ και μετά από μερικές πράξεις καταλήγουμε στην δευτεροβάθμια εξίσωση: $$ 3x^{2}-8x+1=0 \, \, \, \, (1) $$ απ' όπου προκύπτει ότι στις θέσεις $ x_{1} \cong 2,53$ και $ x_{2} \cong 0,13$, η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν.
Ένα παρατηρητικό μάτι βλέπει την εξής "σύμπτωση": Θεωρούμε το πολυώνυμο που έχει ρίζες ρ1=-1, ρ2=2, και ρ3=+3 , τις θέσεις στον άξονα χ των τριών ρευματοφόρων αγωγών $$ P(x)=(x+1)(x-2)(x-3)= x^{3}-4x^{2}+x+6 $$ Η παράγωγος του πολυωνύμου είναι $ P'(x)=3x^{2}-8x+1$. Τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η παράγωγος του πολυωνύμου η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι μηδέν! (σύμφωνα με την εξίσωση 1).
Πρόκειται για σατανική σύμπτωση ή το συμπέρασμα ισχύει και γενικότερα;
Τι εννοούμε όταν λέμε γενικότερα;
Αν έχουμε n παράλληλους αγωγούς που διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα Ι, κάθετους στο επίπεδο χψ στις θέσεις x=ρ1 , ρ2 , ... , ρn του άξονα χ τότε τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η ένταση του μαγνητικού πεδίου είναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του πολυωνύμου $$ P(x)=(x-\rho_{1})(x-\rho_{2}) ... (x-\rho_{n}) $$ Kαι πιο γενικότερα: Αν έχουμε n παράλληλους αγωγούς που διαρρέονται από ομόρροπα ρεύματα Ι, κάθετους στο (μιγαδικό) επίπεδο χψ στις θέσεις z=α1 , α2 , ... ,αn, τότε τα σημεία του επιπέδου στα οποία η ένταση του μαγνητικού πεδίου ισούται με μηδέν είναι τα σημεία στα οποία μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος του μιγαδικού πολυωνύμου: $$ P(z)=(z-a_{1})(z-z_{2}) ... (z-a_{n}) $$ (...)
Aς εξετάσουμε ένα σχεδόν ταυτόσημο πρόβλημα. Στην θέση των n παράλληλων ρευματοφόρων αγωγών τοποθετούμε μονοδιάστατες ευθύγραμμες κατανομές ηλεκτρικού φορτίου (απείρου μήκους) με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ. Στην απλούστερη περίπτωση που είναι κάθετες στο επίπεδο χψ στις θέσεις x=ρ1 , ρ2 , … , ρn του άξονα χ, η συνολική ένταση του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν οι κατανομές σε κάποιο σημείο του άξονα χ υπολογίζεται από την σχέση: $$ \vec{E}= \sum \vec{E}_{i}(x)= \sum \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0} (x -\rho_{i}) }\hat{x} $$ Η μόνη διαφορά με το αντίστοιχο πρόβλημα των ρευματοφόρων αγωγών είναι μια πολλαπλασιαστική σταθερά και το ότι η φορά της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι κάθετη στην ένταση του ηλεκτρικού πεδίου:$$ \vec{B}= \sum \vec{B}_{i}(x)= \sum \frac{k_{\mu} 2 I}{(x -\rho_{i})} \hat{y} $$ Επομένως, ότι συμπεράσματα εξάγονται για το ηλεκτρικό πεδίο, "αν στραφούν κατά 90ο πάνω στο επίπεδο χψ", ισχύουν και για το μαγνητικό πεδίο! Μας βολεύει η ανάλυση να γίνει με το ηλεκτρικό πεδίο εξαιτίας της έννοιας του δυναμικού. ΄Έτσι, τo αντίστοιχο δυναμικό του ηλεκτρικού πεδίου στη θέση x υπολογίζεται από την εξίσωση:$$ V(x)= \sum V_{i}(x)= - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \sum \ln |x -\rho_{i}| +C $$ όπου C μια αυθαίρετη σταθερά.
Αν πάμε αντίστροφα, μπορούμε να υπολογίσουμε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου από την σχέση: $\vec{E}=- \nabla V \Rightarrow \vec{E} = \frac{\partial \sum V_{i}(x)}{\partial x} \hat{x} $ και συνεχίζοντας με το μέτρο της, $$ E = - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\partial}{\partial x} \sum \ln |x -\rho_{i}| = - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \frac{\partial}{\partial x} \ln |(x -\rho_{1})(x -\rho_{2}) ... (x -\rho_{n})| \Rightarrow $$ $$E= - \frac{ \lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} ( \ln |P(x)|)' = - \frac{ \lambda |P'(x)| }{2 \pi \epsilon_{0} | P(x)|}$$ Επομένως, η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου (άρα και του μαγνητικού πεδίου στο αντίστοιχο πρόβλημα) μηδενίζεται στα σημεία όπου Ρ'(x)=0.
Yπενθυμίζεται ότι το πολυώνυμο P(x)=(x-ρ1)(x-ρ2)...(x-ρn) προκύπτει απλά από τις θέσεις x=ρ1 , ρ2 , ... , ρn των κατανομών (ή ρευμάτων) στον άξονα χ. Παρόμοια είναι η ανάλυση όταν οι παράλληλες ευθύγραμμες κατανομές φορτίου (ή οι ρευματοφόροι αγωγοί), είναι κάθετοι σε διάφορα σημεία του επίπεδου χψ.