Πως υπολογίζεται η ενέργεια που απελευθερώνεται σε μια έκρηξη … κοιτώντας τις φωτογραφίες της

Πυρηνικές βόμβες και μονάδες μέτρησης φυσικών μεγεθών

Ένας από τους πιο εντυπωσιακούς τρόπους επίλυσης φυσικών προβλημάτων είναι η μέθοδος της διαστατικής ανάλυσης. Και είναι εντυπωσιακός διότι δεν χρειάζεται να εφαρμοστούν οι φυσικοί νόμοι από τους οποίους εξαρτάται η επίλυση του προβλήματος – οι οποίοι πολλές φορές είναι εντελώς άγνωστοι. Το μόνο που απαιτείται είναι η γνώση των μονάδων μέτρησης των φυσικών μεγεθών που πιθανόν υπεισέρχονται στο φυσικό πρόβλημα. Δυο σχετικά παραδείγματα – η εκτίμηση της ακτίνας του ατόμου του υδρογόνου και ο ακριβής υπολογισμός της κυκλικής συχνότητας αρμονικού ταλαντωτή) – βρίσκονται ΕΔΩ.

Ένα τρίτο παράδειγμα που σχετίζεται με την περιγραφή του μεγέθους μιας έκρηξης συναρτήσει όλων των σχετικών φυσικών ποσοτήτων, χρησιμοποιείται πολλές φορές ως παιδαγωγική εισαγωγή προπτυχιακών φοιτητών στην μέθοδο της διαστατικής ανάλυσης. Εφαρμόστηκε από τον Βρετανό φυσικό Geoffrey I. Taylor στον υπολογισμό της ενέργειας που απελευθερώθηκε κατά την έκρηξη της πρώτης πυρηνικής βόμβας του προγράμματος Μανχάταν (Trinity nuclear test).

Στους υπολογισμούς του ο Taylor περιγράφει μια σφαιρικά συμμετρική έκρηξη που χαρακτηρίζεται από την ακτίνα R συναρτήσει της ενέργειας Ε που απελευθερώνεται κατά την έκρηξη, τον χρόνο t που πέρασε μετά την πυροδότηση και την πυκνότητα του υλικού ρ. Υποθέτει μια εξίσωση της μορφής:

R=S(γ)E^α ρ^b t^c 

όπου α, b και c αδιάστατες σταθερές. Η επίσης αδιάστατη συνάρτηση S(γ), πρέπει να προσδιορίστεί από την θερμοδυναμική εξέλιξη του συστήματος και εξαρτάται από τον αδιαβατικό συντελεστή του μέσου γ (για τα ιδανικά αέρια γ=5/3). Οι περισσότερες αναφορές στον υπολογισμό του Taylor θεωρούν S(γ)=1.

Η παραπάνω εξίσωση πρέπει προφανώς να ικανοποιείται από τις μονάδες των μεγεθών που περιέχει, δηλαδή: m¹=Joule^α∙(kg/m³)^b∙s^c
Aλλά Joule=N∙m=kg∙(m/s²), oπότε: m¹=kg^(α+b)∙m^(α–3b)∙s^(c–2α).
Έτσι προκύπτει το σύστημα των εξισώσεων
0=α+b
1= 2α –3b
0= –3α+c
απ’ όπου παίρνουμε α=–b=1/5, c=2/5 και

$ R=S(\gamma)\left(E/\rho \right)^{1/5} t^{2/5} $      (1)

H εξίσωση (1) μας δείχνει την εξέλιξη του μεγέθους της έκρηξης (ακτίνα R) συναρτήσει του χρόνου:Για να υπολογίσουμε την ενέργεια που απελευθερώθηκε – εφόσον διαθέτουμε εικόνες ή βίντεο της έκρηξης – προσδιορίζουμε από τις εικόνες μερικά «πειραματικά» ζεύγη (t_i, R_i) και προσαρμόζουμε τα δεδομένα αυτά σε μια εξίσωση της μορφής $R=λt^{2/5}$ , απ’ όπου προκύπτει το $λ=S(γ)(E/ρ)^{1/5}$. 

H ενέργεια που απελευθερώθηκε θα είναι: $E \sim λ^{5}ρ$

H ακριβέστερη εκτίμηση γίνεται από την εξίσωση $E=\dfrac{λ^{5}ρ}{S(γ)^{5}}$, αλλά απαιτείται ο προσδιορισμός του παράγοντα $S(γ)$ Η λεπτομερής ανάλυση του Geoffrey Taylor σχετικά με το πως υπολόγισε την ενέργεια που απελευθερώθηκε στην πρώτη πυρηνική έκρηξη είναι λίγο δυσκολότερη. Θα την βρείτε στις δημοσιεύσεις του: «The Formation of a Blast Wave by a Very Intense Explosion. I. TheoreticalDiscussion» και «The formation of a blast wave by a very intense explosion: II. The atomic explosion of 1945» .

Ένας σχετικός υπολογισμός της ενέργειας που απελευθερώθηκε στην πρόσφατη έκρηξη της Βηρυτού γίνεται στην δημοσίευση του Jorge S. Diaz: «Explosion analysis from images: Trinity and Beirut»

 18/9/2020