Προσέγγιση χωρίς τη σειρά Taylor
$ f(x)=f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^{2} + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^{3} \cdots$
Αν η σειρά έχει κέντρο το μηδέν,
$ f(x)=f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^{2} + \frac{f'''(0)}{3!}x^{3} \cdots$
τότε ονομάζεται σειρά Maclaurin.
Οι παραπάνω σειρές εμφανίζονται αρκετές φορές στη φυσική. Για παράδειγμα, στην απλούστατη ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση ή στην απόδειξη ότι απλή αρμονική ταλάντωση αποτελεί την προσέγγιση πρώτης τάξης για οποιαδήποτε κίνηση σώματος γύρω από μια θέση ευσταθούς ισορροπίας.
Πολλές φορές, όταν χρειάζεται να κάνουμε μια προσέγγιση, χρησιμοποιούμε μερικούς όρους της σειράς Taylor ή Maclaurin.
Ένα τέτοιο παράδειγμα είναι η συσχέτιση της κινητικής ενέργειας ενός σωματιδίου στην σχετικότητα
$ K= \sqrt{c^{2}p^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}- m_{0}c^{2}$(*) (m0 η μάζα ηρεμίας του σωματιδίου, p η ορμή του, c η ταχύτητα του φωτός),
με την γνωστή εξίσωση της Νευτώνειας φυσικής
$ K= \frac{1}{2}m_{0}v^{2}$
H σχετικιστική εξίσωση γράφεται $ K= m_{0}c^{2}\left(\sqrt{1 +\frac{p^{2}}{m_{0}^{2}c^{2}}} - 1\right)$
Αν στην σχετικιστική εξίσωση θεωρήσουμε ταχύτητες πολύ μικρότερες του φωτός: $ x=\frac{p^{2}}{m_{0}^{2}c^{2}} \ll 1$, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τους όρους της σειράς Maclaurin
$ \sqrt{1+x} =1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{16}x^{3} - \cdots$
Κρατώντας τους δυο πρώτους όρους της σειράς $ \sqrt{1+x} \simeq 1+\frac{1}{2}x$
η εξίσωση της σχετικιστικής ενέργειας γράφεται
$K = m_{0}c^{2}\left(\sqrt{1 +\frac{p^{2}}{m_{0}^{2}c^{2}}} - 1\right)\simeq \frac{p^{2}}{2m_{0}}=\frac{1}{2}m_{0}v^{2}$
προκύπτει δηλαδή η εξίσωση της κλασσικής φυσικής όπως περιμέναμε.
Αλλά δεν είναι αυτό το ζητούμενο. Το ερώτημα είναι: μπορούμε να πείσουμε κάποιον που αγνοεί τις σειρές Taylor ή Maclaurin - αλλά γνωρίζει στοιχειώδη μαθηματικά - ότι η παραπάνω προσέγγιση είναι λογική.
Ευτυχώς στα μαθηματικά πάντα υπάρχει ο ευκολότερος δρόμος. Έτσι, αν $ x \ll 1$, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε ότι $ x^{2} \simeq 0$, οπότε: $ 1+x \simeq 1+x + \frac{x^{2}}{4}$ ή $ 1+x \simeq (1+\frac{x}{2})^{2}$ ή $\sqrt{1+x} \simeq 1+\frac{x}{2}$, που δεν είναι τίποτε άλλο παρά οι δυο πρώτοι όροι της παραπάνω σειράς Maclaurin
================
(*) Μια γρήγορη απόδειξη της σχέσης $E= \sqrt{c^{2}p^{2}+m_{0}^{2}c^{4}}$ βρίσκεται ΕΔΩ. Αν γράφαμε την κινητική ενέργεια ως $ K=mc^{2}-m_{0}c^{2} =\frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} -m_{0}c^{2} $, τότε στο κλασικό όριο ισχύει: $ K= \frac{m_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} -m_{0}c^{2} \cong m_{0}c^{2}(1+v^{2}/2c^{2}) -m_{0} c^{2} \cong \frac{1}{2} m_{0} v^{2}$.
Πως προκύπτει η προσέγγιση $ \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \cong (1+\frac{v^{2}}{2c^{2}})$ που χρησιμοποιήθηκε εδώ;
Όπως και προηγουμένως. Θεωρώντας $ x=\frac{v^{2}}{c^{2}} \ll 1$, έχουμε $ x^{2} \simeq 0$, επομένως
$ 1 \simeq 1-x^{2} \rightarrow \frac{1}{1+x} \simeq1-x \rightarrow \frac{1}{1+x+x^{2}/2} \simeq 1-x \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x}} \simeq 1+ \frac{x}{2}$