Η εξίσωση του αρμονικού κύματος σε μια διάσταση είναι $ y=A \sin 2 \pi(\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda})$ ή αν θέλουμε στο τέλος να συμφωνούμε με τα περισσότερα βιβλία κβαντομηχανικής $ y=A \sin 2 \pi(\frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T})$ (πρόκειται για τυπικό θέμα σύμβασης) ή $ y=A \cos 2 \pi(\frac{x}{\lambda} - \frac{t}{T}) $.
Δεδομένου ότι $ k=\frac{2\pi}{\lambda} $ και $ \omega=\frac{2\pi}{T} $ έχουμε:
$ y=A \sin(kx-\omega t)= A \sin\theta $ ή $ y=Acos(kx-\omega t)= Acos\theta $
Eφόσον $e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta$ η εξίσωση του αρμονικού κύματος μπορεί να γραφεί και ως $ y=Ae^{i(kx-\omega t)}$. Παραγωγίζοντας την παραπάνω εξίσωση δυο φορές ως προς x και δυο φορές ως προς το χρόνο προκύπτει αντίστοιχα: $ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}=k^2 $ και $ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=\omega^2 \psi $
Διαιρώντας κατά μέλη τις δυο τελευταίες εξισώσεις και χρησιμοποιώντας την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής $c=\lambda f = \frac{\omega}{k}$, παίρνουμε την κυματική εξίσωση: $ \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=c^{2} \, \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} $
Αν η εξίσωση της ενέργειας ενός φωτονίου $ E=hf=\frac{hc}{\lambda}$ συνδυαστεί με την εξίσωση ισοδυναμίας μάζας - ενέργειας $E=mc^2$ προκύπτει για το μήκος κύματος του φωτονίου $\lambda=\frac{h}{mc}=\frac{h}{p}$, όπου p=mc η ορμή του φωτονίου.
Ο de Broglie επέκτεινε τη σχέση μήκους κύματος - ορμής και στα σωματίδια, θεωρώντας την κίνηση σωματιδίου ισοδύναμη με “κύμα” μήκους κύματος $\lambda=\frac{h}{p}$ οπότε $p=\frac{h}{\frac{2\pi}{k}} \Rightarrow p=\hbar k \Rightarrow k=\frac{p}{\hbar}$ και συχνότητας $f=\frac{E}{h}$, οπότε $E=\frac{h\omega}{2\pi} \Rightarrow E=\hbar \omega \Rightarrow \omega=\frac{E}{\hbar}$.
Έτσι η εξίσωση που θα περιγράφει το κύμα ενός ελεύθερου σωματιδίου μπορεί να προκύψει από την εξίσωση του αρμονικού κύματος $y\thicksim e^{i(kx-\omega t)}$.
Θέτοντας $k=\frac{p}{\hbar}$ και $\omega=\frac{E}{\hbar}$ παίρνουμε $y\thicksim e^{\frac{i(px-Et)}{\hbar}}$
Aντικαθιστώντας την εξίσωση του αρμονικού κύματος $y=Ae^{i(kx-\omega t)}$ στην κλασική κυματική εξίσωση, $\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=c^{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$ αναπαράγεται η σχέση κυκλικής συχνότητας – κυματαριθμού: $c=\lambda f = \frac{\omega}{k} $
H εξίσωση (Schrödinger) που θα ικανοποιείται από την έκφραση $y\thicksim e^{\frac{i(px-Et)}{\hbar}}$ θα πρέπει αντίστοιχα να αναπαράγει τη σχέση ενέργειας – ορμής του ελεύθερου σωματιδίου: $E=\frac{p^2}{2m}$.
Δοκιμάζουμε τις παρακάτω παραγωγίσεις:
$ \frac{\partial y}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar}Ey \Rightarrow -\frac{\hbar}{i} \frac{\partial y}{\partial t} = Ey \Rightarrow i \hbar \frac{\partial y}{\partial t} = Ey $
$\frac{\partial y}{\partial x} = \frac{ip}{\hbar}y \Rightarrow \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -\frac{p^2}{\hbar^2}y \Rightarrow -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -\frac{p^2}{2m}y$
Συνεπώς η εξίσωση Schrödinger που αναπαράγει τη σχέση ενέργειας – ορμής είναι:
$i \hbar \frac{\partial y}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$
Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να ιδωθεί σε τελεστική μορφή ως: $\widehat{E}y = \frac{\widehat{p}^2}{2m}y$, όπου $\widehat{E} \equiv i\hbar \frac{\partial}{\partial t}$ και $\widehat{p} \equiv i\hbar \frac{\partial}{\partial x} \Rightarrow \widehat{p}^2 \equiv -\hbar^2 \frac{\partial^2}{\partial x^2}$
Θεωρώντας σύστημα μονάδων με $\hbar=c=1 $ η εξίσωση Schrödinger γράφεται:
$ i \frac{\partial y}{\partial t} = -\frac{1}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $
H μόνη γενική μέθοδος ακριβούς λύσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι ο χωρισμός των μεταβλητών. Για παράδειγμα η κυματική εξίσωση
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2}=c^{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$
επιλύεται θεωρώντας ότι: $y(x,t)=X(x)T(t)$
Αντικαθιστώντας στην κυματική εξίσωση , μετά από απλές πράξεις έχουμε
$\frac{X''}{X}=\frac{1}{c^2}\frac{\ddot{T}}{T}=-\lambda$
με λ>0.
Έτσι προκύπτουν οι $X''(x)+\lambda X(x) =0$ και $\ddot{T}(t)+\lambda T(t) =0 $
Mε παρόμοιο τρόπο γίνεται ο χωρισμός μεταβλητών στην εξίσωση Schrödinger $i \hbar \frac{\partial y}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} $
Γράφουμε $y(x,t)=\psi(x)T(t) $ οπότε
$ \frac{\partial y}{\partial t}= \psi(x) \dot{T}(t) $, $\frac{\partial y}{\partial x}= \psi'(x) T(t)$ και $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}= \psi''(x) T(t)$
Αντικαθιστώντας στην εξ. Schrödinger παίρνουμε $i\hbar \frac{\dot{T}}{T}=-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\psi''}{\psi}=E$, όπου Ε μια θετική σταθερά.
Έτσι, $i\hbar \frac{\dot{T}}{T}=E \Rightarrow T(t)=e^{-\frac{iEt}{\hbar}}$ και $-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\psi''}{\psi}=E \Rightarrow -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2 \psi(x)}{\partial x^2} = E\psi(x)$
H τελευταία εξίσωση είναι η χρονοανεξάρτητη εξ. Schrödinger και μπορεί να γραφεί σε τελεστική μορφή ως $\widehat{H} \psi(x) =E\psi(x)$ όπου $\widehat{H}\equiv -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}$
Eπίσης θα ισχύει: $y(x,t)=\psi(x) e^{-\frac{iEt}{\hbar}}$