1. Η ενέργεια του φωτονίου
Η σταθερά του Πλανκ h, είναι μια θεμελιώδης σταθερά και παίζει κεντρικό ρόλο στη θεωρία της κβαντικής φυσικής. Χρησιμοποιείται για να περιγράψει το μέγεθος των κβάντων. Πήρε την ονομασία της από τον Μαξ Πλανκ, δεδομένου ότι εμφανίστηκε για πρώτη φορά στην ερμηνεία της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος από τον Πλανκ το 1900. Η τιμή της σταθεράς είναι: h=4,14×10−15 eV∙s = 0,00000000000000414 electronvolt∙second και οι μονάδες της εκφράζουν το μέγεθος της στροφορμής. Στο διεθνές σύστημα μονάδων η τιμή της είναι: h=6,62607015·10-34 kg2·m/s.
Οι Rayleigh-Jeans προσπάθησαν να εξηγήσουν την ακτινοβολία του μέλανος σώματος σύμφωνα με την κλασσική μηχανική και την ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell. Θεωρώντας στάσιμα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στην κοιλότητα του πρότυπου μέλανος σώματος και ότι το υλικό των τοιχωμάτων, που συνίσταται από φορτισμένους αρμονικούς ταλαντωτές, ανταλλάσσει οποιοδήποτε ποσό ενέργειας με τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, υπολόγισαν την έκφραση: $u(f,T)=\frac{8 \pi f^{2}}{c^{3}} kT$, η οποία όμως αποτυγχάνει παταγωδώς στις μεγάλες συχνότητες όπως φαίνεται και στο σχήμα (η επονομαζόμενη υπεριώδης καταστροφή):
Ο Planck ανακάλυψε ότι μπορούσε να λύσει το μυστήριο της υπεριώδους καταστροφής και να διατυπώσει την εξίσωση που περιγράφει σωστά την ακτινοβολία του μέλανος σώματος , αρκεί να θεωρούσε ότι οι αρμονικοί ταλαντωτές που βρίσκονταν σε θερμική ισορροπία με την Η/Μ ακτινοβολία, απορροφούσαν και εξέπεμπαν πακέτα ενέργειας με τιμές ανάλογες προς την συχνότητα ταλάντωσής τους.
Όταν έχουμε 100 ταλαντωτές και οι 10 από αυτούς έχουν συχνότητα f, οι ταλαντωτές αυτοί καθορίζουν την ένταση της ακτινοβολίας που εκπέμπεται σε αυτή τη συχνότητα. Ενώ η συχνότητα όλων των ηλεκτρικών ταλαντωτών του Planck είναι σταθερή, το ποσό της ενέργειας που εκπέμπει και απορρροφά έκαστος εξαρτάται αποκλειστικά από το πλάτος του. Ένα σώμα δεμένο από ένα ελατήριο, όταν εκτελεί 10 ταλαντώσεις σε 10 δευτερόλεπτα, λέμε ότι έχει συχνότητα 1Ηz (μία ταλάντωση ανά δευτερόλεπτο). Ωστόσο, αν 'σκουντήξουμε' στιγμιαία το σώμα αυξάνοντας την ενέργειά του, τότε ταλαντώνεται με μεγαλύτερο πλάτος, αλλά κινείται γρηγορότερα έτσι ώστε να πραγματοποιεί τον ίδιο αριθμό ταλαντώσεων ανά δευτερόλεπτο. Κι αν του αφαιρέσουμε ενέργεια έτσι ώστε να ταλαντώνεται πιο αργά με μικρότερο πλάτος, πάλι την ίδια θα συχνότητα θα έχει. Με λίγα λόγια η συχνότητα των ταλαντωτών είναι ανεξάρτητη από την ενέργειά τους.
Ο Planck εφαρμόζοντας τις τεχνικές του Boltzmann στην θερμοδυναμική κατάφερε να προσδιορίσει την σχέση $u(f,T)=\frac{8 \pi h}{c^{3}} \frac{f^{3}}{e^{\frac{hf}{kT}}-1} $, η οποία περιέγραφε σωστά την κατανομή της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος. Όμως, αναγκάστηκε να τεμαχίσει την ενέργεια σε αδιαίρετα κομμάτια μεγέθους hf , όπου f η συχνότητα του ταλαντωτή και h μια σταθερά. Η σχέση Ε=hf έμελλε να αναδειχθεί σε μια από τις πιο διάσημες εξισώσεις όλων των επιστημών.
Ο Planck θεώρησε ότι οι ταλαντωτές του μπορούσαν να έχουν ενέργειες: 0, hf, 2hf, 3hf, 4hf, ..., nhf, όπου n ακέραιος αριθμός. Κάτι τέτοιο ισοδυναμούσε με απορρόφηση ή εκπομπή ενός ακεραίου αριθμού "στοιχείων ενέργειας" ή "κβάντων" μεγέθους hf. H ιδέα αυτή συγκρουόταν με την φυσική της εποχής (αυτή που σήμερα ονομάζουμε κλασική φυσική), σύμφωνα με την οποία δεν υπήρχαν περιορισμοί στο πλάτος των ταλαντώσεων και, επομένως, στο ποσό της ενέργειας που θα μπορούσε να εκπέμψει ή να απορροφήσει ένας ταλαντωτής σε μια φυσική δοσοληψία, το οποίο θα μπορούσε να πάρει οποιαδήποτε τιμή.
Ένας μαθητής Λυκείου μπορεί εύκολα να αποδείξει ότι, η απομάκρυνση x και η ορμή p ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή μάζας m, κυκλικής συχνότητας ω=2πf και ολικής ενέργειας Ε, συνδέονται με την εξίσωση:
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{p^{2}}{b^{2}}=1$, η οποία ορίζει μια έλλειψη, με μεγάλο ημιάξονα $a=\sqrt{2E/m\omega^{2}}$ και μικρό ημιάξονα $b=\sqrt{2mE}$. To εμβαδόν της έλλειψης ισούται με $\oint p dx =S= \pi ab=E/f$. Eπομένως, όταν η ενέργεια του ταλαντωτή αυξάνεται κατά $latex \Delta E$, το εμβαδόν της έλλειψης αυξάνεται κατά $\Delta S= \Delta E/f$. O Plank υπέθεσε ότι η ενέργεια του ταλαντωτή μεταβάλλεται ασυνεχώς με άλματα ΔE, και οι διαδοχικές ελλείψεις στο διάγραμμα p-x, διαφέρουν στο εμβαδόν τους κατά μία σταθερά ΔS=h, οπότε ΔΕ=h∙f.
Πάνω στην απόγνωσή του ο Planck είχε ανακαλύψει κάτι τόσο απίστευτο και αναπάντεχο, ώστε δεν μπόρεσε να συλλάβει πλήρως την σπουδαιότητά του. Οι ταλαντωτές του δεν μπορούσαν να απορροφούν ή να εκπέμπουν ενέργεια με συνεχή τρόπο, όπως τρέχει το νερό σε μια βρύση, αλλά με ασυνεχή τρόπο, σε μικρές, αδιαίρετες μονάδες μεγέθους Ε=hf, όπου f είναι η συχνότητα του ταλαντωτή και η οποία ταυτίζεται με την συχνότητα της ακτινοβολίας που μπορεί να απορροφά ή να εκπέμπει. Ο λόγος για τον οποίο οι μεγάλης κλίμακας ταλαντωτές δεν φαίνονται να συμπεριφέρονται όπως οι αντίστοιχοι της ατομικής κλίμακας του Planck είναι ότι η σταθερά h είναι πάρα μα πάρα πολύ μικρή. Το απειροελάχιστο μέγεθος της h καθιστά τα κβαντικά φαινόμενα αόρατα στον κόσμο της καθημερινότητάς μας, σε αντικείμενα όπως εκκρεμή, παιδικές κούνιες και σώματα δεμένα με ελατήρια.
O Planck, και οι άλλοι φυσικοί της εποχής του, θεώρησαν ότι η εισαγωγή του κβάντου ενέργειας, ήταν μια υπόθεση καθαρά "φορμαλιστικού χαρακτήρα" η οποία "δεν είχε και τόση σημασία". Όλοι πίστευαν ότι δεν αποτελούσε τίποτε περισσότερο από το σύνηθες μαθηματικό ταχυδακτυλουργικό τέχνασμα του θεωρητικού, έναν εύστοχο μαθηματικό ελιγμό στην πορεία προς την ανακάλυψη της σωστής απάντησης.
Η σταθερά h ήταν ο πέλεκυς που θα έκοβε την ενέργεια σε κβάντα και ο Planck ήταν ο πρώτος που τον χειρίστηκε. Στην πραγματικότητα όμως ο Planck απλώς κβάντωσε - έκοψε σε κομμάτια μεγέθους hf - τον τρόπο απορρόφησης και εκπομπής ενέργειας από τους ταλαντωτές του, και όχι την ίδια την ενέργεια. Ο συντηρητικός Planck πιστευε ότι θα μπορούσε τελικά να απαλλάξει την ανάλυσή τους από το κβάντο. Συνειδητοποίησε τις απώτατες συνέπειες του επιτεύγματός του πολύ αργότερα.
Την έννοια του κβάντου ενέργειας χρησιμοποίησε το 1905 ο Αϊνστάιν για να εξηγήσει το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο (την εκπομπή ηλεκτρονίων από μέταλλα όταν προσπίπτει πάνω σ’ αυτά ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία – φως) , θεωρώντας ότι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα αποτελείται από κβάντα ενέργειας E=hf, όπου f η συχνότητα του κύματος. Ας σημειωθεί ότι ο R. A. Millikan ήταν ο πρώτος που μέτρησε τo 1914 την σταθερά Planck, βρίσκοντας την τιμή h=6.57x10−27erg∙sec, χωρίς να πιστεύει την υπόθεση των κβάντων, γράφοντας μάλιστα στην τελική δημοσίευση του 1916 ότι η υπόθεση του Einstein ήταν επιπόλαια!
Την σταθερά του Planck χρησιμοποίησε και ο Niels Bohr το 1913 στην θεωρία του για το άτομο του υδρογόνου, θεωρώντας ότι oι επιτρεπτές τροχιές για ένα ηλεκτρόνιο είναι αυτές στις οποίες η στροφορμή του ηλεκτρονίου είναι κβαντισμένη, ακέραιο πολαπλάσιο της ποσότητας h/2π. Αν και χρησιμοποιούσε ένα ετερόκλητο μείγμα μη κλασικών παραδοχών διατυπωμένες μέσα σε ένα κλασικό εννοιολογικό πλαίσιο, το μοντέλο του εξηγούσε με επιτυχία τα φάσματα εκπομπής και απορρόφησης των υδρογονοειδών ιόντων, επισημοποιώντας τα πρώτα βήματα της κβαντικής θεωρίας. Μιας θεωρίας που θα σάρωνε τα πάντα.
Έτσι άρχισε η κβαντική φυσική…
2. Το απλό εκκρεμές
Πίσω από τις μεγάλες θεωρίες πολλές φορές κρύβονται ιδέες και προβλήματα απλής φυσικής. Πολλοί φυσικοί στις αρχές του αιώνα στην προσπάθειά τους να κατανοήσουν τα κβαντικά φαινόμενα αναζητούσαν σανίδα σωτηρίας σε έννοιες και φαινόμενα της κλασικής φυσικής.
Το πρώτο συνέδριο του Solvay το 1911 είχε ως θέμα την ακτινοβολία και τα κβάντα. Εκεί οι φυσικοί καθώς ασχολούνταν με τα προβλήματα της εισαγωγής κβαντικών εννοιών στη φυσική, συζήτησαν και ένα φαινομενικά απλό πρόβλημα από την κλασική μηχανική: Θεωρούμε ένα απλό εκκρεμές, μια μικρή μάζα m δεμένη σε αβαρές νήμα το οποίο περνάει μέσα από την μικρή τρύπα στην οροφή, όπως βλέπουμε στο σχήμα.
 |
| Καθώς το εκκρεμές ταλαντώνεται όταν μειώνουμε με αργό ρυθμό το μήκος του παρατηρούμε ότι η συχνότητα ταλάντωσής του αυξάνεται. Η μείωση του μήκους του εκκρεμούς ισοδυναμεί με ανύψωση του σφαιριδίου, άρα με αύξηση της ολικής ενέργειάς του. Αντίστοιχα, Η αύξηση του μήκους του εκκρεμούς (μείωση ενέργειας) προκαλεί, μείωση της συχνότητας. |
Θεωρούμε ότι το εκκρεμές εκτελεί απλές αρμονικές ταλαντώσεις. Υποθέτουμε ότι το νήμα τραβιέται πολύ αργά προς τα πάνω ή αφήνεται επίσης πολύ αργά προς τα κάτω αργά, έτσι ώστε κατά την διάρκεια μιας περιόδου το μήκος $ \ell $ του εκκρεμούς να μεταβάλλεται πολύ λίγο. Τίθεται το ερώτημα: Τι συμβαίνει στο πλάτος της ταλάντωσης όταν το μήκος του εκκρεμούς μεταβάλλεται με πολύ αργό τρόπο;
Το πρόβλημα είχε θέσει πριν το συνέδριο του 1911 o Lorentz στον Einstein, ο οποίος όμως ήρθε προετοιμασμένος. Είχε ήδη αποδείξει πως, με δεδομένο ότι το μήκος του εκκρεμούς μεταβαλλόταν πολύ αργά σε σχέση με την περίοδό του, το πλάτος της ταλάντωσης ικανοποιούσε την σχέση $A(t) \sim \frac{1}{\sqrt{\omega (t)}}$, όπου $\omega(t)=\sqrt{\frac{g}{\ell(t)}}$. Και εξαιτίας αυτής της σχέσης, το πηλίκο της ενέργειας του εκρεμμούς προς την συχνότητα παράμενε σταθερό ή η ενέργεια του εκκρεμούς ήταν ανάλογη με την συχνότητα της ταλάντωσης: Ε = (σταθερά) f. Η εξίσωση αυτή είναι ίδια με την εξίσωση της ενέργειας των κβάντων φωτός, αν στη θέση της σταθεράς βάλουμε την σταθερά του Planck !
Τα μεγέθη, όπως το πηλίκο της ενέργειας προς την συχνότητα του απλού εκκρεμούς, τα οποία διατηρούνται σταθερά κάτω από πολύ αργές μεταβολές κάποιων παραμέτρων ονομάζονται αδιαβατικά αναλλοίωτα (adiabatic invariant). Το όνομα προκύπτει από το γεγονός ότι η έκφραση αδιαβατική μεταβολή παραπέμπει σε συνεχείς αργές μεταβολές κάποιων χαρακτηριστικών του συστήματος, αργές σε σχέση με την περίοδο του συστήματος. Για τέτοιου είδους καταστάσεις αναπτύχθηκε μια θεωρία που έχει τις ρίζες της στον Boltzmann και ο Bohr ονόμασε αρχή της μηχανικής μετασχηματιστικότητας (mechanical transformability), ενώ αργότερα σύμφωνα με τον Ehrenfest ονομάστηκε αδιαβατικό θεώρημα. Το θεώρημα εφαρμόστηκε στα πρώτα βήματα της κβαντικής μηχανικής από τους Bohr και Sommerfeld.
Αναγνωρίστηκε ότι ο λόγος της ενέργειας προς την συχνότητα του ταλαντωτή στην ουσία ταυτιζόταν με την δρασιακή μεταβλητή $J=\oint p dq =\pi \, m \, \omega\, A^{2}=E/f$, όπου p η ορμή και q η απομάκρυνση του αρμονικού ταλαντωτή. Το αδιαβατικό αναλλοίωτο των δρασιακών μεταβλητών, με αργή μεταβολή των παραμέτρων, ήταν μια πολύ ικανοποιητική ιδιότητα για τους φυσικούς που ανέπτυξαν την κβαντική μηχανική - αρκεί να θυμηθεί κανείς την ενέργεια ενός κβάντου φωτός $E=hf$. Ήταν η εποχή που οι περισσότεροι φυσικοί έλπιζαν πως θα εξηγήσουν τα κβαντικά φαινόμενα χρησιμοποιώντας κλασική φυσική.
3. Τα αδιαβατικά αναλλοίωτα
Τα αδιαβατικά αναλλοίωτα βρίσκουν εφαρμογή εκτός από την κβαντομηχανική, στην κίνηση φορτισμένων σωματιδίων σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (στους επιταχυντές φορτισμένων σωματιδίων), στην μελέτη διαφορικών εξισώσεων με χρονικά εξαρτώμενους συντελεστές και σε άλλους τομείς της σύγχρονης έρευνας.
Aν λοιπόν το μήκος του εκκρεμούς διπλασιάζεται αργά, το πλάτος της ταλάντωσης (προσοχή! όχι η γωνία της μέγιστης απόκλισης) αυξάνεται κατά $ \sqrt[4]{2}$. Aν το μήκος του εκκρεμούς επιστρέψει στην αρχική τιμή του, το πλάτος των ταλαντώσεων επιστρέφει επίσης στην αρχική τιμή της. Το εντυπωσιακό είναι πως το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται καθόλου από τον νόμο σύμφωνα με τον οποίο πραγματοποιήθηκε η επιμήκυνση του εκκρεμούς.
Συνεπώς στο "αδιαβατικό όριο", δυο φυσικά ανεξάρτητες ποσότητες, το πλάτος και η συχνότητα του ταλαντωτή καθίστανται συναρτησιακά εξαρτημένες. Αυτό το ασυνήθιστο φυσικό φαινόμενο διακρίνει την αδιαβατική θεωρία ανάμεσα σε πολλές άλλες.
Μια παρόμοια περίπτωση είναι το εξής πρόβλημα:
 |
| Ισχύει V<<υ |
Θεωρούμε μια μπάλα που κινείται μεταξύ δυο παράλληλών τοιχωμάτων με ταχύτητα $ v$, των οποίων η μεταξύ τους απόσταση είναι $ x$. Θεωρούμε ότι η μπάλα συγκρούεται ελαστικά με τα τοιχώματα καθώς η απόσταση των τοιχωμάτων μεταβάλλεται πολύ αργά. Στην περίπτωση αυτή το αδιαβατικό αναλλοίωτο είναι το γινόμενο $J=x |v|$, που αλλάζει ελάχιστα με την πάροδο του χρόνου. Με άλλα λόγια, όταν η απόσταση μεταξύ των τοιχωμάτων διπλασιάζεται, η ταχύτητα της μπάλας ελαττώνεται στο μισό. Το γεγονός ότι η απομάκρυσνη των τοιχωμάτων ελαττώνει την ταχύτητα της μπάλας που αναπηδά ελαστικά μεταξύ τους είναι κατανοητό, όμως η θεωρία της αδιαβατικής αναλλοιώτητας του γινομένου $x |v|$ μας δίνει μια αξιοσημείωτα ακριβή περιγραφή αυτής της ελάττωσης.
Η θεωρία της αδιαβατικής αναλλοιότητας αποτελεί ένα παράξενο παράδειγμα μιας φυσικής θεωρίας που φαινομενικά έρχεται σε αντίθεση με μαθηματικά αποτελέσματα τα οποία μοιάζουν να επαληθεύονται εύκολα. Παρότι διαθέτει μια τέτοια δυσάρεστη ιδιότητα, αυτή η "θεωρία" έχει οδηγήσει σε εντυπωσιακές φυσικές ανακαλύψεις από εκείνους που δεν φοβήθηκαν να χρησιμοποιήσουν τα συμπεράσματά της (αν και αυτά δεν αιτιολογούνταν από μαθηματική άποψη). Η ανάπτυξη της επιστήμης για δυο αιώνες οδήγησε τελικά σε μια κάποιου είδους συμφωνία μεταξύ μαθηματικών και φυσικών: οι μαθηματικοί απέδειξαν το θεώρημα περί της διατήρησης αδιαβατικών αναλλοίωτων" υπό συγκεκριμένες (επακριβώς καθορισμένες) παραδοχές.
βιβλιογραφία:
1. QUANTUM. Αίνστάιν, Μπορ και η μεγάλη διαμάχη για τη φύση της πραγματικότητας, Kumar Manjit, εκδόσεις Πατάκη
2. Vladimir Igorevich Arnold: H μαθηματική κατανόηση της φύσης – 39 σύντομα δοκίμια μαθηματικών φαινομένων
3. «Classical Mechanics» , Herbert Goldstein: